Правильно «Зачем» и «За чем». Слово «Зачем» – это наречие, которое образовано от местоимения с предлогом. Есть синоним к данному слову «Почему». Поэтому слово пишется всегда слитно и это прописано в орфографическом словаре.5 Jun 2018
Всегда пишется слитно, так как его написание регламентируется орфографическим словарем. В предложении может выступать как вопросительным местоименным наречием, так и нести роль союзного слова. — Зачем мне сегодня идти в школу?
Наречие, местоименное, обстоятельственное, цели, вопросительное или союзное слово, союз; неизменяемое. Непроизводное [Тихонов, 2003]. Корень: —зачем— [Тихонов, 1996].
Зачем-то – слово это представляет собой неопределенное местоименное наречие, писать которое следует через дефис, потому как имеет оно постфикс «-то».