Лук (оружие) образовалось из общеславянского "lokъ" в значении "изгиб", отсюда же, как Вы правильно заметили, и лука, и излучина.
Слово «look» тоже английского происхождения. Переводится как «вид, внешность». Лук — это продуманный до мелочей образ, который включает в себя одежду, обувь, аксессуары, прическу, маникюр, макияж. Дополнительные штрихи придают настроение, манера поведения человека и даже атмосфера места.
Слово «лук» на молодёжном инстаграмно-твиттерном сленге означает всего лишь «внешний вид» или «образ», от английского слова Look, которое в данном случае переводится как «смотреться» или «выглядеть».